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    ドル・コスト平均法が有利であることについての、数学を用いた説明
    Kapok の資産運用投資手法ドル・コスト平均法
    ドル・コスト平均法とは、一定金額ずつリスク資産を購入していく投資手法です。
    有効な投資手法の一つとして、広く知られています。
     
    特に、一定口数積立と比較し、有利な投資手法であるという説明が散見されますが、どうなのでしょう。
    平均取得価格に注目し、数学的に考えてみます。
     
     
    まず、投資信託を考えます。
    基準価額は、
    1回目の購入時に a(1),
    2回目の購入時に a(2),
        …
    n回目の購入時に a(n)
    と変動するものとします。
     
    また、これ以降で和の記号・積の記号を
    Σ(f(i)) = f(1) + f(2) + ・・・・ + f(n)
    Π(f(i))= f(1) ・f(2) ・・・・・・ ・f(n)
    と定義します。
     
     
    1.ドル・コスト平均法での平均取得価額
     
    この投信を h 円ずつ定額積立をした場合、
    積立総額は h [円] × n [回] で hn [円]   …①
     
    一方で i 回目に積み立てる口数は、 h [円]÷a(i) [円/10,000口] ですから、
    1~n回目までに積み立てた口数は、Σ(h/a(i)) [10,000口] …②
     
    したがって、10,000口当たりの平均取得価額は、①÷②より
     
    hn / ( Σ(h/a(i) ) ) =  1 / ( Σ(1/ a(i))/n )  [円/10,000口]   …③
     
     
    2.一定口数積立の平均取得価額
     
    毎回10,000口ずつ積み立てた場合、
    i 回目の積立金額が a(i) [円/10,000口] ですから、
    積立総額は Σ(a(i))  [円] …④
     
    一方で、積立口数は、10,000[口]× n [回] = n [10,000口] …⑤
     
    したがって、平均取得価額は、④÷⑤より
    Σ(a(i)) ÷ n  [円/10,000口] …⑥
     
     
    3.どちらがお得?
     
    ③ =   1 / ( Σ(1/ a(i)) / n ) 
      ≦ 1 / (Π(1/a(i)))^(1/n)     ←相加平均≧相乗平均 ※1 より 1/相加平均≦1/相乗平均
      =  (Π(a(i)))^(1/n)
      ≦  Σ(a(i)) ÷ n     ←相加平均≧相乗平均 再び
      = ⑥  ※2
     
    したがって ③≦⑥
    すなわち ドル・コスト平均法は、一定口数積立よりも、平均取得価格安く抑える事ができるのです※3
     
     
    また、ほぼ同様の議論で、
    売却時は 「一定金額ずつ」 よりも、「一定口数ずつ」 が有利 であることが分かります。
    また、スポット買いによる取得単価の期待値 は ドル・コスト平均法の平均取得価額を上回る、すなわち、スポット買いは不利であることが分かります。※4
     
     
    ―――つぶやき―――
    ところで、ブロガーの間で「ドル・コスト平均法は、有利でも不利でもない」との主張が良く聞かれます。
    あれって、なんなのでしょうね。何を仮定し、どう論理展開すればそうなるのかが不明です。
    そもそも何と比較して、有利・不利なのかさえ分かりません。
     
     
    ―――――――――――――――――――
    ※1
    証明は↓のリンクのpdfファイル4枚目以降を参照。
     
    ※2
    この不等式の変形は↓の記事を参照しています。
     
    ※3
    他の手法と比較した上での有利・不利の議論であり、完全に手法についてのお話です。
    儲かるかどうかは、積立対象次第です。ここでは言及していません。
     
    ※4
    基準価額の値動きが予想できないと仮定した上での期待値のお話です。基準価額の値動きが予想できる投資家であれば、積極的にスポット買いを行うべきです。
     
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    2011.07.12 / コメント:: 0 / トラックバック:: 1 / PageTop↑




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