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    リスク資産はどれくらい持つのが合理的か? 「ケリー基準」
    Kapok の資産運用投資手法リスク・リターン
    以前こちらの記事のコメント欄で、ケリー基準について 葵ただひとさん と Tansney Gohn さんに情報を頂きました。

    本日私は仕事が休みでしたので、興味がありましたし、下のリンクのケリー基準について、一通り読んでみました。大変面白い記事でした。

    ケリー基準 (リンク最終確認: 2012/3/23)
    http://www.geocities.jp/y_infty/management/index.html


    下記例題を解く過程を追う事を通して、ざっくりと推論の考え方をまとめておきます。簡単のため、数学的正統性を多少無視します。




    1.問題

    あるリスク資産は、一定期間に、
    確率Pで w 円 増えます。
    確率1-P で、l 円 減ります。
    (注意: ここで l はアルファベットのエルです。1(いち)ではありません。)

    このリスク資産は、長期保有できます。
    さて、このリスク資産をどれくらい持っているのが合理的でしょうか。

    ケリー公式は、この問題に答えを与える事ができる、素晴らしい公式です。
    以下、解を導く論理を追っていきます。


    2.まず最大損失を仮定し、資産の増減を計算する

    上記「一定期間」に負けた時に、資産の f 倍(0≦f≦1)を失うような運用をしたとします。

    この時、
    1-Pの確率で負け、資産は 1-f 倍になります。
    Pの確率で勝ち、資産は、1+(w/l)×f 倍になります。

    ここで、w/l は、勝ち幅÷負け幅です。これを R とおいておきます。
    すると、勝ったときの増え方は、1+Rf 倍と記述できます。


    3.次に「一定期間」で期待される資産の増え方を計算

    「一定期間」あたりでは、P回勝ち、1-P回負ける事が期待されます。
    よって、「一定期間」あたりの増え方を f の関数 g(f) とすると、

    g(f) = (1+Rf)^P × (1-f)^(1-P)
    とおけます。

    (2.で示した通り、↑の 1+Rf は勝った時の増え方、1-fは負けた時の減り方です。)


    4.一番資産が増えるように運用するには?

    最も増えるように運用するには、関数 g(f) を最大にする f を選べば良いですね。
    最大値を与える f を f* とします。
    このf* は g(f) を f について微分すれば計算でき、←注:理系の人のみが履修する微分です。

    f* = ((R+1)P - 1)/ R ・・・①
    となります。

    負けた時、資産の f* 倍を失うようにこのリスク資産を運用していく事が、最も合理的であると分かりました。これが問題の解です。


    5.ケリー基準とは?

    式①は、ケリーの公式と名前がついています。

    今回は、買った時と負けた時の2パターンがある時、最も合理的な運用方針は何かについて考えましたが、3パターン以上ある時について考えたのが、「ケリー基準」と呼ばれているようです。

    ケリー基準は、「リターン分布を持つリスク資産をどれくらい持つのが合理的か」を計算する事ができる数式になります。


    6.詳細・数学的に正統な論理

    上記リンクをご参照ください。
    大変詳しく書いてあります。



    葵ただひとさん 、Tansney Gohn さん、
    情報ありがとうございました。 ^^

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    2012.03.23 / コメント:: 4 / トラックバック:: 0 / PageTop↑




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